Bayes貝氐定理

 Bayes 貝氏定理記錄

1️⃣ 觀察（Observation）

變數	含義	數值
D	罹患該疾病(Disease)
¬D	未罹患該疾病(Not Disease)	–
+	篩檢結果陽性	–
P(D)	先驗機率（疾病盛行率）	0.01 (1 %)，基本盤(根據歷史經驗的原始信心)
P(¬D)	未罹患的先驗機率	0.99
P(+|D)	靈敏度（真陽性率）	0.99
P(+|¬D)	偽陽性率	0.05

說明：互斥與完備性只在同一條件下成立，  在固定條件下，

事件的所有可能結果必須滿足完備性（加總為 1）。

例如：
  • 在條件 D 下：
  P(+|D) + P(-|D) = 1  （陽性或陰性必有其一）

  • 在條件 ¬D 下：
  P(+|¬D) + P(-|¬D) = 1
  但 P(+|D) 與 P(+|¬D) 分別屬於不同的條件，不構成互斥且完備的事件集合，因此它們不必相加等於 1。

貝氏公式（Bayes’ Theorem）

 P(D|+) = (P(+|D) * P(D)) / (P(+|D) * P(D) + P(+|¬D) * P(¬D)) 

 P(+|D) * P(D) = 0.99 × 0.01 = 0.0099 

 0.0099 + 0.05 × 0.99 = 0.0594 

 P(D|+) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667 (16.67 %) 

└─正向定錨
    ├─貝氏公式
    │   ├─分子 = 0.99×0.01 = 0.0099
    │   └─分母 = 0.0099 + 0.05×0.99 = 0.0594
    ├─計算結果 = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667
    └─罹病機率 ≈ 16.7%（正確答案）

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Bayes （A / B 形式表示方式）

1️⃣ 原始貝氏公式

P(D|+) = (P(+|D) * P(D)) / (P(+|D) * P(D) + P(+|¬D) * P(¬D))

2️⃣ Math De‑Tox數學去毒(零 LaTeX/數學符號排版)：映射至 P(A|B) 形式

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

• A ↔ D（罹患疾病）
• B ↔ +（篩檢結果陽性）

P(D|+) = P(+|D) * P(D) / P(+)
P(+) = P(+|D) * P(D) + P(+|¬D) * P(¬D)

後驗機率(Posterior)=概似度(Likelihood)*先驗機率(Prior) / 邊際機率(Evidence即證據B發生總機率)

3️⃣ 以 甲、乙、丙、丁 對應記號表示

記號	原始意義
甲         乙	P(+|D) (靈敏度) P(D) (先驗機率)
丙	P(+|¬D) (偽陽性率)
丁	P(¬D) (未罹患的先驗 = 1‑P(D))

P(D|+) = (甲 * 乙) / (甲 * 乙 + 丙 * 丁)

4️⃣ 數值代入示例

甲 = 0.99   (靈敏度)
乙 = 0.01   (疾病盛行率)
丙 = 0.05   (偽陽性率)
丁 = 0.99   (1‑B)

P(D|+) = (0.99 * 0.01) / (0.99 * 0.01 + 0.05 * 0.99)
        = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667 (16.7%)

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貝氏公式的推導與全機率展開：   

Step 1 – 條件機率定義          P(A|B) = P(A∧B) / P(B)

Step 2 – 從 P(B|A) 逆推聯合機率
P(B|A) = P(A∧B) / P(A)      ⇒  P(A∧B) = P(B|A)·P(A)
P(B|A) = P(A and B) / P(A)  ⇒  P(A and B) = P(B|A) * P(A)

Step 3 – 代入 Step 1 的分子     P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Step 4 – 全機率展開分母         P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|not A) * P(not A)
全機率定理（Law of Total Probability）展開分母： 分母 P(+) 包含所有可能出現陽性的情況。
在實務中，陽性僅來自兩個互斥且覆蓋樣本空間的來源：
真病患的陽性（真陽性）
P(D and +) = P(+ given D) * P(D)
健康者的陽性（偽陽性）
P(not D and +) = P(+ given not D) * P(not D)
因此根據全機率定理：
P(+) = P(D and +) + P(not D and +)
     = P(+ given D) * P(D) + P(+ given not D) * P(not D)
提醒：大腦最常漏掉右半部 P(+ given not D) * P(not D)。
若疾病盛行率 P(D) 很低，即使偽陽性率小，健康人口的龐大基數，仍會使此項顯著放大。
最終公式
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / (P(B|A) * P(A) + P(B|not A) * P(not A))